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Tragkraft einer kreisförmigen Klebefläche bei unproportionalem Klebkraftzuwachs

Diese Nebenrechnung gehört zu meinem Beitrag in drpagel.log.ag v.20.8.2008

Ausgangsmaterial war ein 19mm breites Montageband mit deklarierter max.Tragkraft von 10kg/m. Gesucht ist die maximale Belastung bei einer Kreisfläche mit 5,5cm Durchmesser. Im Baumarkt wurde man belehrt, dass sich die Klebkraft bei gleichem Klebmaterial nicht proportional zur Fläche verändert. Als Beispiel dient ein extrastarkes Klebeband von 19mm Breite, welches 4,2kg/10m tragen können soll und ein 38mm breites Montageband aus gleichem Material, welches mit nur unwesentlich mehr, nämlich 5,2kg/10m belastet werden darf. Hier führt eine Verdoppelung der Breite nur zur 1,24-fachen Traglast. Es ergibt

• eine Vervierfachung der Breite die (1,24)²-fache =^= 1,53-fache Traglast
• eine Verachtfachung der Breite die (1,24)³-fache =^= 1,9-fache Traglast

Also grob abgeschätzt wächst die Traglast mit der dritten Wurzel des Verbreiterungsfaktors. Doch wie berechnet man dann die max.Traglast bei Verbreiterung von einer Rechteckfläche zu einer Kreisfläche?

• bei 19mm Breite: 10kg/100cm =^= 0,55kg/5,5cm
• bei 2,89-facher Breite (nämlich b=55mm) wäre die max. Traglast nur = 1,42-fache Traglast zu 19mm Breite, also 0,55kg · 1,42 = 0,783kg max.Traglast (Obergrenze) bei quadratischer 5,5cm breiter Klebefläche (umbeschriebenes Quadrat)
• Gesucht ist ein einbeschriebenes Quadrat in der Kreisfläche: Kreisdurchmesser =^= Quadratdiagonale (Kreisdurchmesser)² = 2 · (Quadratseitenlänge)² Dies ergibt:
  • Kreisdurchmesser = Quadratseitenlänge · Quadratwurzel(2)
  • (5,5cm) / Quadratwurzel(2) = Quadratseitenlänge = 3,89cm
  • 0,55kg/5,5cm =^= 0,39kg/3,9cm (Rechteck)
  • 3,9cm Quadrat = 2,05-fache des 1,9cm Rechtecks
  Bei 2,05-facher Breite (nämlich b=39mm) wäre die max. Traglast nur = 1,27-fache Traglast zu 19mm Breite, also 0,39kg · 1,27 = 0,496kg max.Traglast (Untergrenze) bei quadratischer 3,9cm breiter Klebefläche (einbeschriebenes Quadrat)

Die wahre Traglast liegt zwischen 0,5kg und 0,78kg für einen Saughaken bei einem 19mm breitem Power-Montageband von 10kg/m.

Wenn man das genauer berechnen will, muss man die Kreisfläche durch schmalere Streifen annähern und jeweils getrennt Obersumme und Untersumme berechnen und daraus den Mittelwert bestimmen. Für infinitesimale dünne Montagebandstreifen läuft diese Berechnung auf eine Integralrechnung hinaus.

Einfacher ist folgende Rechnung: Soll die Eckablage anstatt 0,5kg pro Haken das vierfache, nämlich 2kg pro Haken halten, so muss das gleichbreite Montageklebeband auch mindestens mit der vierfachen zulässigen Traglast gekennzeichnet sein. Glücklicherweise gibt es Superpower-extrastarkes Montageband, welches 42kg/m tragen soll. Diese Verklebung sollte, falls die äußeren Parameter wie Luftfeuchtigkeit und Temperatur und Klebeflächenmaterial eingehalten werden, neben der Eigenmasse von 0,345kg zusätzlich ca. 1,75kg Utensilien tragen. Wie beim Kraftfahrzeug darf die zulässige Gesamtmasse incl. allem 2,095kg nicht überschreiten.

Würde die Belastbarkeit proportional zur Klebefläche gehen, sollte die kreisrunde Fläche, bestehend aus dem 10kg/10m-Material gegenüber einem 19mm breitem 55mm langem Streifen, also 1,25kg tragen, falls der 55mm lange 19mm breite Streifen mit 0,55kg belastbar ist.

Wenn es das Wörtchen 'wenn' nicht geben würde! (dp) (2h)